Tags

, , , , , , , , , , , , , , , , ,

Salam udara…

Assalammualaikum sahabat…..

Tulisan ini adalah tulisan kedua dalam seri Mechanical Engineering Science dalam blog newbie ini. Topik ini sebenarnya adalah materi undergraduate level, namun berhubung sependek pengetahuan saya materinya tidak diajarkan di level undergraduate di negeri kita tercinta (masih perlu info mutakhir, entah ITB atau ITS memasukkan materi ini dalam kurikulum(T. Mesin)-nya atau tidak?), sehingga sedikit saya bahas di artikel kali ini. Sebenarnya ini belum layak disebut artikel, saya masih harus banyak belajar menulis. Intinya, saya ingin agar materi yang dibahas menjadi sedikit santai dan mudah dipahami mahasiswa.

Sebenarnya saya bingung juga sih, kalau saya tidak salah ingat, ada matakuliah bernama Analisis Linier di level undergraduate dulu, diajarkan oleh seorang dosen Math, namun seingat saya hanya membahas dot product, cross product, partial differentiation, Gradient, Divergence, dan Curl. Masih ingatkah sahabat….??? Topik ini dibahas lebih advanced di Chapter 9 Buku legendaris yang ditulis oleh mbah buyut kita, ADVANCED ENGINEERING MATHEMATICS by mbah Erwin Kreyzig, dengan judul Ch. Vector Differential Calculus. Grad, Div, Curl. Buku ini buku yang sangat penting bagi seorang mahasiswa Teknik Mesin, namun kayaknya, sedikit mahasiswa mesin yang mau menyentuh buku ini, karena super tebal (1283 Hal).

kreyzig

Sahabat, ada tips dari newbie agar kita tidak horor dengan buku text yang tebal. Biasanya kan kita cuma fotocopy itu buku dari perpus atau print dari file e-book, nah, print saja chapter atau bab yang sedang mau dipelajari. Hal ini selain secara psikologis, membuat beban belajar kita serasa lebih sedikit dan ringan, juga memang ringan kalau dibawa-bawa ke kampus. Dulu saya punya kebiasaan nakal ketika kuliah. Saya biasanya mencari buku textbook asli di perpus pusat kampus Undip atau perpus jurusan. Buku itu biasanya saya pinjam, namun jika tidak bisa dipinjam, maka saya akan sembunyikan buku itu di rak yang nomornya tidak sesuai tempat aslinya buku itu. Jadi misal buku Math atau Thermodynamics-nya Cengel yang maknyus dan cuma satu di perpus, saya sembunyikan buku itu di rak buku-buku anak Kesehatan Masyarakat atau anak Biology atau jurusan lain yang sekiranya tidak menggunakan buku itu. Jadi saya bisa pakai itu buku kapanpun saya perlukan…hahahaa…

Ok, jadi sahabat, print atau copy saja chapter 9 dari buku mbah Kreyzig, atau textbook lain sesuai selera kalian. Jangan diprint semua, pusing ente nanti. Bagian lain dari Calculus III kayaknya tidak ada di buku ini, yaitu Einstein’s index atau indices,  dan Tensor Calculus, Ok, sekarang lanjut ke isi topik ini…….eh…sudah adzan subuh……..

………….(&^%*(*&(&*%&^%*^&%………………

to be continued

Ok saya lanjutkan, topik ini kemungkinan tidak bisa dituliskan dalam satu posting, karena cukup banyak pengetahuan tentang topik ini yang kalau tau manfaatnya akan sangat menarik.

Differential Geometri dari bidang Planar dan Ruang Tiga Dimensi

Bidang Planar dan Ruang tiga dimensi (3-D atau R3) sangat penting dalam Calculus III. Subtopik ini menjadi dasar kita untuk menuju topik Mekanika Kontinyu (Continuum Mechanics). Kita akan membahas bagaimana sebuah titik, garis dan shape dibangun dalam koordinat tiga dimensi. Kenapa ini penting?dalam analisis mekanika benda kontinyu, atau mekanika benda padat (solid mechanics) kita selalu menempatkan suatu object studi kita dalam koordinat, bisa 1-D, 2-D dan 3-D. Di beberapa perguruan tinggi (PT) ada juga yang memasukkan subbagian ini dalam Calculus II. Vektor adalah “makanan” penting dalam hal ini. Bagaimana merepresentasikan sebuah vektor dalam koordinat ruang, sangat berguna dalam analisis dynamics (tunggu tulisan membosankan tentang ini, ini mata kuliah paling dibenci se-republik mesin raya, hahaha…….). Ketika saya mengambil matakuliah ini di semester I program Master, saya akan mengernyitkan dahi, ketika dosennya bilang,

…………….”within these 2 weeks, I’ll only catch-up what You have already mastered in the undergraduate level…differential geometry“…………………….

…wtf…, apaan mastered, denger juga baru kali ini.hahaha…….Waktu itu textbook yang digunakan adalah buku dengan judul “INTRODUCTION TO TENSOR CALCULUS AND CONTINUUM MECHANICS” ditulis oleh J. H. Heinbockel. Buku ini,……..hmmm……wtf..banget saya bilang, geje,…atau saya yang terlalu bodoh. Saya memang vacum dari berfikir selama hampir 3 tahun sebelum melanjutkan Master.

Bekerja di Perusahaan Pemilik Proyek (owner, user) bikin saya berhenti jadi insinyur, berhenti mikir scientific, believe or not…anda setuju???ah,..sudahlah, nanti malah jadi curhat….lanjut yah…

Dalam koordinat ortogonal (apa itu, lu baca di wiki aja deh ya…kepanjangan nanti posting-an nya), koordinat kartesian 3-D adalah yang paling mudah dan familiar di telinga kita. Sebuah titik P bisa dideskripsikan sebagai P(x,y,z)  jika kita menamai axis-nya dengan axis-x, axis-y, dan axis-z.

image001

tutorial.math.lamar.edu

jika titik-titik tersebut dibuat garis, maka dapat dengan mudah anda menghitung panjang garis AP, RP,RS,PQ, dst. Nah, kalau titik-titiknya dibangun dari sebuah persamaan kurva (curve), bagaimana menghitung panjang kurvanya?gampang, pakai limit…nanti kita bahas! Sabar…

Secara umum, sebuah kurva pada bidang planar dapat dibuat dengan persamaan parametrik,

x = x(u), y = y(u)

dimana dan adalah koordinat kartesian dan adalah parameter, apa aja parameternya, terserah elu tong, mau sudut kek, mau gradien, dst. Misalnya ya, lingkaran. Apakah persamaan lingkaran jika ditulis dalam bentuk parametric?nih misalnya…

circle_equ

dimana rho (susah juga tong nulis equation di blog) adalah jari-jari/radius dari lingkaran, dan theta adalah sudut.

Nah sekarang bagaimana bentuk Vektor dari persamaan suatu garis (ingat ya bro, garis itu bisa dibidang planar maupun geometri ruang 3-D). Oh ya, jangan baca tulisan ini dulu kalau definisi vektor belum paham, silahkan agan google dulu ya. Biar ga kepanjangan ini tulisan.

Balik ke titik P(x,y,z) lalu kita bayangin lagi titik Q(x1,x2,x3). Kalau kedua titik ini disambung, kan jadi garis tuh, lalu bayangin, kita taruh vektor yang nempel di garis PQ, sudah tong?nah, vektor kita namain a(m i+n j+o k)Lalu ente bayangin lagi, ente bikin garis vektor lagi, sejajar,..inget tong, sejajar dengan vektor a yang udah kita bayangin tadi lalu kita namai vektor v, bingung ga bro?ya sudah ane coretin yakkk…

vektor1

nah, sekarang, semua titik yang ada di garis merah ntuh.., bisa kita tulis dalam bentuk vektor. Karena vektor a dan itu sama arahnya bro, lo,.kan beda itu gambarnya,…sama gituloh, SEJAJAR!!!, nah kalau vektor itu unit satuan vektor, artinya besarnya 1, berani vektor a dan vektor v itu sama persis, meskipun digambar beda lokasi!!!

nah sekarang kita bicara vektor posisi bro, yang digambar itu dinamai r1 dan r2, yaitu vektor posisi titik P dan titik Q. Nah, inget vektor a, itu berarti bisa menjadi vektor posisi yang menggambarkan posisi titik Q relatif terhadap titik P. Nah ngomong-ngomong soal relatif, kalau bingung, agan2 bisa dapet nilai D atau E di matakuliah dynamics!!! tanya rekan bro-bro sekalian kalau ga percaya, hahaa…

Nah sekarang agan ingat penjumlahan vektor, gampang banget kayak anak SD. Dari gambar diatas, berarti

r2 = r1 + a

kalau agan ga yakin mah nih statement, ya sudah, kita sama2 ke padepokan Dimas Kanjeng, minta penjelasan ke beliau. nah sekarang bagaimana menulis hubungan vektor a dan vektor v yang searah tadi? gampang, kasih aja konstant besaran non-unit,

a = c.v

c adalah suatu konstan, terserah lu mau sepanjang apa vektor a ituh. jadi vektor r2 tadi bisa juga ditulis dalam vektor v.

r2 = r1 + a =  r1 + k.v

r2 = (x1,y1,z1) + c(m i+n j+o k)

Nah bro, persamaan diatas itu contoh persamaan suatu garis yang ditulis dalam format vektor. Haiyah, ribete cak, garis ae lo mbulet! ya piye cak, lek ga gelem mbulet, pindah psikologi wae, ceweke juga ayu-ayu tur kuliah e enak. hiiii……..

Nah, perlu dicatat nih bro, kalau garismu berupa kurva, vektornya berarti berubah-ubah, nah iki yang bikin hot, hot…..

vektor1

nah, jadi gan, kalau kita menganalisa gerak curvilinear, vektornya bergerak dan berganti-ganti arah, seru jadinya. Nah, dalam analisis mekanika benda padat elastis, secara analitik memang sulit dan terbatas pada geometri tertentu. Alhamdulillah, Finite Element Methods sudah ditemukan, sehingga kerumitan itu bisa diatasi. Namun tetap, kita harus paham apa yang sebenarnya terjadi dibalik proses komputasi FEM.

Nah, untuk curva dalam 3-D, cukup menambah informasi di axis-z, sehingga persamaan parametrik-nya menjadi

 x = x(u), y = y(u), z = z(u)

Sebagai contoh saja, kalau kita bikin bikin helix dalam 3-D, persamaannya sederhana,

vektor1helix-equa dan b itu cuma konstan aja, mau seberapa gede jari-jari helix, dan seberapa cepat kelengkungan helixnya naik ke arah sumbu-z.

Lalu bagaimana menulis vektor posisi dari titik-titik di helix ini, gampang juga kawan, tinggal tulis persamaan helix nya dalam bentuk vektor, misalkan vektor satuan axis-x, y dan z namanya i,j dan k, jadi tinggal tulis,

pos-vec

Nah kebiasan nulis vektor dalam bentuk standar sangat penting dalam analisa dinamika, dan lebih penting lagi dan Mekanika Kontinyu (baik Mekanika benda Padat maupun Mekanika Fluida). Percaya atau tidak, sepertinya matakuliah mekanika kontinyu tidak diajarkan dalam satu matakuliah khusus dan detail di jenjang S2 di Indonesia, entahlah. Yang ada adalah langsung Mekanika Bahan Lanjut atau Mekanika Fluida Lanjut. Padahal dalam buku-buku text kedua mata kuliah tersebut, harus didasari mekanika kontinyu terlebih dahulu, atau minimal membaca sedikit tentang materi ini. Pastinya juga ada pertimbangan lain yang para senior jauh lebih paham dari newbie. Sebagai contoh matakuliah Elastisitas dan Plastisitas, tentu harus sebelumnya membahas dasar mekanika kontinyu agar memahami bagaimana persamaan-persamaan mekanika benda padat yang ditulis dalam notasi-notasi dan penulisan tertentu yg diajarkan di mekanika kontinyu.

Sekian dulu, tulisannya, agar tidak kepanjangan gans…Selanjutnya akan dibahas bagaimana menganalisis lintasan suatu kurva di ruang 3-D.

Selamat belajar, tetap semangat, tetap waras, dan tetap sehat dan bahagia ya para mahasiswa dan mantan mahasiswa Mesin.

Solidarity forever!!!

Mesin Jaya!!!

Dhahran, 17 November 2016

Advertisements